Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Помогите пожалуйста привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа (именно этим не другим) буду благодарен
x1^2+8x2^2+2x3^2+4x1x2-2x1x3-8x2x3
Вот пример, но с ошибками
Всем спасибо, уже сам решил (но можете присылать вдруг ошибся)
Ответ удалён если ты решил, то на шпору
Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, который состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов.
Для приведения квадратичной формы n переменных к каноническому виду нужно выполнить следующие действия:
Выбрать такую переменную (ведущую), которая входит в квадратичную форму во второй и в первой степени одновременно. Если в квадратичной форме нет ведущих переменных, то выбрать пару переменных, произведение которых входит в квадратичную форму с отличным от нуля коэффициентом. Если в квадратичной форме отсутствуют произведения различных переменных, то никаких преобразований делать не надо, так как она уже имеет канонический вид.
По ведущей переменной выделить полный квадрат: собрать в квадратичной форме все члены с ведущей переменной, дополнить сумму этих членов до полного квадрата (разумеется, добавленные члены нужно также и вычесть, чтобы не изменилась сумма). Получим сумму полного квадрата некоторой линейной формы (в которую входит ведущая переменная) и квадратичной формы, в которую ведущая переменная не входит.
Сделать замену переменных: линейную форму, содержащую ведущую переменную, принять за одну из новых переменных, а все старые переменные, за исключением ведущей, принять за соответствующие новые.
Выбранную пару переменных заменить на разность и сумму двух новых переменных, а остальные старые переменные принять за соответствующие новые переменные. При этом произведение пары выбранных переменных преобразуется к разности квадратов двух новых переменных.
Многократно применяя этот приём, исключаем одну за другой все ведущие переменные, получая тем самым канонический вид квадратичной формы.
матрицей нельзя?
Что же... Во-первых, давайте разделим члены и запишем уравнение так: [ x_1^2 + 8 x_2^2 + 2 x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 - 8 x_2 x_3 ] Далее мы можем использовать метод Лагранжа, чтобы приведем уравнение к каноническому виду. Начнем с того, что выпишем уравнения для каждого коэффициента мономов в порядке возрастания их степеней: 4, 1, -2, 8, 2, 0, -8.
Затем мы начинаем с группировки коэффициентов каждого монома в порядке от наименьшего к наибольшему. [ 4 - 2 8 2 0 -8 ] Далее мы можем установить каждый коэффициент в этой строке равным соответствующему коэффициенту монома той же степени в исходном уравнении. Если коэффициент в исходном уравнении отсутствует, мы устанавливаем его равным нулю. [ 4 x_1 - 2 x_1^2 + 8 x_2 + 2 x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 - 8 x_2 x_3 = 4 - 2 x_1 + 8 x_2 + 2 x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 - 8 x_2 x_3 ] Теперь мы можем упростить выражение в левой части равенства: [ 4 x_1 - 2 x_1^2 + 8 x_2 + 2 x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 - 8 x_2 x_3 = 0 ] Это может быть записано в канонической форме как: [ x_1^2 + 8 x_2^2 + 2 x_3^2 + 4 x_1 x_2 - 2 x_1 x_3 - 8 x_2 x_3 = 0 ] И вот, исходное уравнение было помещено в каноническую форму. формируем по методу Лагранжа!