Вычислить площадь фигуры, расположенной вне кривой p=2sin2φ и внутри кривой p = √3

Для вычисления площади фигуры, расположенной вне кривой (p = 2\sin^2\varphi) и внутри кривой (p = \sqrt{3}), сначала найдем точки пересечения этих кривых. Кривая (p = 2\sin^2\varphi) достигает своего максимума при (\varphi = \frac{\pi}{4}), где (p = 2), и минимума при (\varphi = \frac{3\pi}{4}), где (p = 0). Кривая (p = \sqrt{3}) имеет постоянное значение (p = \sqrt{3}) для всех (\varphi). Таким образом, точки пересечения находятся при (\varphi = \frac{\pi}{4}) и (\varphi = \frac{3\pi}{4}).
Площадь фигуры можно вычислить как разность площадей двух криволинейных секторов, ограниченных кривыми (p = 2\sin^2\varphi) и (p = \sqrt{3}), и двумя лучами (\varphi = \frac{\pi}{4}) и (\varphi = \frac{3\pi}{4}). Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле (S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} p^2(\varphi) d\varphi), где (p(\varphi)) - уравнение кривой, ограничивающей сектор, а пределы интегрирования (\alpha) и (\beta) соответствуют углам, ограничивающим сектор.
Для кривой (p = 2\sin^2\varphi), площадь сектора, ограниченного лучами (\varphi = \frac{\pi}{4}) и (\varphi = \frac{3\pi}{4}), будет равна:
\S_1 = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} (2\sin^2\varphi)^2 d\varphi = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} 4\sin^4\varphi d\varphi\
Для кривой (p = \sqrt{3}), площадь сектора, ограниченного теми же лучами, будет равна:
\S_2 = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \sqrt{3}^2 d\varphi = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} 3 d\varphi\
Вычитая (S_2) из (S_1), получаем площадь фигуры, расположенной вне кривой (p = 2\sin^2\varphi) и внутри кривой (p = \sqrt{3}):
\S = S_1 - S