Должна ли падать мощьность паяльника при включении в цепь диодов?

Ну на сколько она упадёт? Допустим на диодах будет падать напряжение 0,7 вольт. Сколько диодов последовательно будет подключено? Ещё столько же и в обратную сторону должно быть параллельно подключено. Если к нагревательному элементу приложено было напряжение Uмакс без диодов, то с диодами Uмакс - N*Uvd, где N - кол-во диодов соединённых последовательно, а Uvd - падение напряжения на одном диоде при прямом его смещении. Видишь, к ТЭНу уже не будет приложено прежнее напряжение, оно будет ниже, поэтому и мощность будет ниже.
По поводу полуволны - полностью солидарен