Существует ли дробный интеграл?
Существует понятие дробной производной n-го порядка, где n - комплексное число. А существует ли обратное действие, т.е интеграл, чтобы например решать дифференциальное уравнение, когда неизвестная функция является производной какого-то не целого порядка?
Да, существует, причем странно слышать такой вопрос: дробный интеграл по-хорошему определяется ДО того, как определяется дробная производная, так что, если вы что-то знаете про дробное дифференцирование, то вы тем более должны что-то знать про дробное интегрирование
По-хорошему, конечно, надо уточнять, в каком смысле мы понимаем дифференцирование и интегрирование дробного порядка (а есть множество отличающихся подходов разной степени общности). Скорее всего, первым, на что вы наткнетесь, изучая дробный матанализ, будет дифферинтеграл Римана—Лиувилля. И вот этот подход (самый распространенный) как раз стартует от того, как бы нам определить интеграл дробного порядка, а уже после этого строится и производная дробного порядка.
Очень хорошее и простое введение в этот сюжет можно глянуть тут
https://youtu.be/2dwQUUDt5Is?si=jlg8ygVEdIiFWoKH
В понятии дробной производной подразумевается, что n — рациональное, а не комплексное, хотя, в теории, в порядок производной можно засунуть всё что угодно вплоть до седениона. Только седенион в порядке задолбаешься объяснять и находить ему применение.
В дробном анализе определены операторы как для производной, так и для интеграла/первообразной.
В английской вики кратенько и лаконично, но без особых косяков, вроде бы, рассказано про дробное интегрирование:
https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus#Computing_the_fractional_integral
Есть ещё один вариант дробного анализа — фрактальный анализ (Fractal Calculus). Он упоминается даже в сериале "Звездный Путь", но это не вымысел: такой подвид анализа, действительно, существует и легко гуглится. Там про фрактальные производные и первообразные.
А как же! И ряды дробностепенные с дробным шагом существуют. Целый дробный анализ существует.
Только не спрашивай - что это и зачем, я не знаю))
Дробное производное она как-то там доказывается через комплексную плоскость. Ну там кирдык какой-то