Кто умный в математике?

Question

Кто умный в математике?

Анна Кулаева Ученик (87), открыт 1 неделю назад

Докажите, что если x >= 2, то x^n >= n. (где n - любое число)

Answer 1

По принципу математической индукции, если x ≥ 2, то x^n ≥ n для любого натурального числа n.

Answer 2

3>=2
3^4>=4
чо тут доказывать не пойму? рандомные числа подставить и посмотреть. Или нужно какое-то определение сформулировать?

Answer 3

FILIN Искусственный Интеллект (139186) 1 неделю назад

Так как х ≥ 2, то x^n ≥ 2^n. Но 2^n > n, что легко доказать по индукции или воспользоваться известным неравенством (1 + а)^n ≥ 1 + na, которое верно, например, при всех а > 0.
(где n - любое НАТУРАЛЬНОЕ число)

Анна КулаеваУченик (87) 1 неделю назад

а кстати ты прочитал, что n - любое число или нет?

Анна КулаеваУченик (87) 1 неделю назад

необязательно натуральное

FILIN Искусственный Интеллект (139186) Анна Кулаева, тогда рассуждение иное! Надо показать, что если х ≥ 2, то при любом у имеем x^y ≥ y. Ну, если у ≤ 0, то это очевидно. Пусть поэтому у > 0. Заметим, что по-прежнему, x^у ≥ 2^у. Покажем, что 2^у ≥ у. Eсли 0 < y < 1, то 2^у > 1 > y. Таким образом, можно считать, что у ≥ 1. Рассмотрим функцию f(y) = 2^у - y. Прежде всего, f(1) = 2 - 1 = 1 > 0. Далее, f'(y) = 2^y*ln2 - 1 > 0 при у ≥ 1 (ибо f'(1) = 2ln2 - 1 > 0, и монотонно возрастает). Значит, и f(y) монотонно возрастает при у ≥ 1, то есть 2^у - y > 0. А это и надо доказать.