Математика. Найти общее решение системы линейных дифф. уравнений с постоянными коэффициентами с помощью хар уравнения

На фотографии изображена система дифференциальных уравнений:
dx/dt = x - 5y
dy/dt = x - 3y

Чтобы решить эту систему, можно использовать метод собственных значений и собственных векторов.

1. Запишем систему в матричном виде.
Система:
dx/dt = x - 5y
dy/dt = x - 3y
может быть представлена в виде:
d/dt [x
y] = [ 1 -5
1 -3] [x
y]

Для упрощения обозначим:
A = [ 1 -5
1 -3]
X = [x
y]

Теперь система имеет вид:
dX/dt = AX

2. Найдём собственные значения матрицы A.
Для этого решим характеристическое уравнение det(A - λI) = 0.

det ([1 - λ -5
1 -3 - λ]) = 0

Рассчитаем определитель:
(1 - λ)(-3 - λ) - (-5) = λ^2 + 2λ + 2 = 0

Решим квадратное уравнение:
λ^2 + 2λ + 2 = 0
Корнями этого уравнения являются λ = -1 + i и λ = -1 - i.

3. Найдём соответствующие собственные векторы.
Для λ = -1 + i решим систему (A - λI) * v = 0:
([ 1 - (-1+i) -5
1 -3 - (-1+i)]) [v1
v2] = [0
0]

Упростим:
([2-i -5
1 -2-i]) [v1
v2] = [0
0]

Чтобы найти собственный вектор, выразим v2 через v1 из первой строки:
(2-i)v1 - 5v2 = 0
v2 = (2-i)/5 v1

Берём v1 = 5 (для упрощения):
Тогда v = [5
2-i].

Повторив аналогичные действия для λ = -1 - i, получим другой собственный вектор v.

4. Общее решение можно записать в виде комбинации решений, соответствующих каждому собственному значению и собственному вектору:
X(t) = c1 [5 e^((-1 + i)t)
(2-i) e^((-1 + i)t)] + c2 [5 e^((-1 - i)t)
(2+i) e^((-1 - i)t)]

где с1 и с2 — произвольные константы.