Исполнилось 20 лет, 03.07.. Хочу поехать в 13 июля... Меня на границе пустят?

по кругу пустят на границе

Так поменять паспорт- несколько дней.

Будут уговаривать подписать контракт, брать на мужика.

По новым правилам паспорт полностью действителен до 90 дней после 20 д.р. В отличии от старых, когда 30 дней давались только на подачу документов. Так что проблем с выездом быть не должно.