Комбинаторика 8 класс сириус

Для решения первой задачи комбинаторики, где требуется найти количество компаний из трёх учеников, в которых есть хотя бы одна девочка и хотя бы один мальчик, и все они дружат между собой, мы можем использовать следующий подход:

1. Выберем одного мальчика. У него 15 девочек-друзей.
2. Так как каждый мальчик дружит ещё с 6 мальчиками, выберем одного из этих мальчиков.
3. Теперь у нас есть пара мальчиков, и каждый из них дружит со всеми девочками, значит, мы можем выбрать любую девочку, чтобы сформировать компанию.

Таким образом, количество различных компаний из трёх учеников, где есть хотя бы одна девочка и хотя бы один мальчик, и все они дружат между собой, будет равно:

$$
15 \times 6 \times 15 = 1350
$$

Теперь перейдём ко второй задаче, где требуется найти количество компаний из трёх учеников, таких, что хотя бы двое из трёх не дружат между собой.

1. Выберем одного мальчика, у него 15 девочек-друзей и 6 мальчиков-друзей.
2. Так как нет трёх попарно дружащих мальчиков, мы не можем выбрать двух его друзей-мальчиков для компании.
3. Аналогично, нет трёх попарно дружащих девочек, поэтому мы не можем выбрать двух его друзей-девочек для компании.
4. Следовательно, компания должна состоять из одного мальчика и двух девочек, которые не дружат друг с другом, или из одной девочки и двух мальчиков, которые не дружат друг с другом.

Так как каждая девочка дружит только с 4 девочками, остаётся 10 девочек, с которыми она не дружит. Аналогично, для мальчика остаётся 8 мальчиков, с которыми он не дружит. Таким образом, количество компаний из трёх учеников, где хотя бы двое из трёх не дружат между собой, будет равно:

$$
15 \times \binom{10}{2} + 15 \times \binom{8}{2}
$$

где \(\binom{n}{k}\) — биномиальный коэффициент, количество сочетаний из \(n\) по \(k\).

Вычислим:

$$
15 \times \binom{10}{2} = 15 \times 45 = 675
$$

$$
15 \times \binom{8}{2} = 15 \times 28 = 420
$$

Сложим полученные значения:

$$
675 + 420 = 1095
$$

Таким образом, количество компаний из трёх учеников, где хотя бы двое из трёх не дружат между собой, равно 1095.