Договор подряда на время испытательного срока

верно, по договору ГПХ запись в трудовую книжку не идет. вы будете работать неофициально, по крайней мере этот 1 месяц.
идти туда работать или нет решать вам, но если зарплата и условия труда устраивают, можете попробовать.

Работодатель хитрит- хочет посмотреть что Вы представляете из себя как работник и как человек, а потом уже понимать решение стоит ли Вас оформлять в штат. Сейчас сведения о начале и окончании договора ГПХ подаются в СФР, то есть в электронной трудовой книжке запись будет.