Целые и рациональные суммы #2.
Целое число представляется в виде суммы трёх квадратов рациональных чисел.
Обязательно ли оно представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел?
Ответ удалён Нет, не обязательно. Примером может служить число 7.
Оно может быть представлено в виде суммы трёх квадратов рациональных чисел следующим образом:
7 = (3/2)^2 + (3/2)^2 + (1/2)^2
Можно проверить:
(3/2)^2 = 9/4, (3/2)^2 = 9/4, (1/2)^2 = 1/4
9/4 + 9/4 + 1/4 = 19/4 = 7
Но число 7 не может быть представлено в виде суммы трёх квадратов целых чисел. Это следует из теоремы Лагранжа о сумме четырёх квадратов, которая утверждает, что любое натуральное число может быть представлено в виде суммы четырёх квадратов целых чисел, но не обязательно трёх.
Поэтому число 7 — это пример числа, которое можно представить в виде суммы трёх квадратов рациональных чисел, но не в виде суммы трёх квадратов целых чисел.
Отрицательные целые числа как представить с помощью суммы квадратов?