Доказать, что (2n^4 + 5n^3 + n + 2) / (n^4-3*n^3-3) стремится к 2

Question

Доказать, что (2n^4 + 5n^3 + n + 2) / (n^4-3*n^3-3) стремится к 2

Can Kun Ученик (75), открыт 2 недели назад

(2*n^4 + 5*n^3 + n + 2) / (n^4-3*n^3-3) = 2 + (11*n^3+n+8)/(n^4-3*n^3-3). значит, нужно доказать, что (11*n^3+n+8)/(n^4-3*n^3-3) стремится к 0, те (11*n^3+n+8)/(n^4-3*n^3-3) < E. как преобразовывать дальше?

Answer 1

Допустим, что при некотором n: f(n) = 2^(5n + 3) + 5^n*3^(n + 2) кратно 17. Тогда имеем, что f(n + 1) = 2^(5n + 8) + 5^(n + 1)*3^(n + 3) = 32*2^(5n + 3) + 15*5^n*3^(n + 2) = 17*2^(5n + 3) + 15*[2^(5n + 3) + 5^n*3^(n + 2)] тоже будет кратно 17, ибо первое и второе слагаемое данной суммы кратно 17. Далее, имеем что f(1) = 2^8 + 5*27 = 256 + 135 = 391 делится на 17. Значит, f(n) = 2^(5n + 3) + 5^n*3^(n + 2) кратно 17 при любом натуральном n, что и требовалось доказать.

Answer 2

стремится к 2 при n→∞ ?
нужно разделить числитель и знаменатель на n^4.
тогда в пределе ваше выражение при n→∞ будет равно 2.
***
(11*n^3+n+8)/(n^4-3*n^3-3) стремится к 0 при n→∞ точно так же.
нужно разделить числитель и знаменатель на n^3. при n→∞ числитель равен 11, а знаменатель равен n, поэтому при n→∞ все выражение стремится к 0 .

Доказать, что (2*n^4 + 5*n^3 + n + 2) / (n^4-3*n^3-3) стремится к 2

Доказать, что (2n^4 + 5n^3 + n + 2) / (n^4-3*n^3-3) стремится к 2