1^4 + 2^4 + ... + n^4 Найти формулу

Так а суммы 3, 2 и 1 степеней n чисел знаешь?
Можно просто вывести из того что
(S_k(n) = 1^k + ... n^k)
S_5(n+1) = S_5(n) + 5 * S_4(n) + 10 * S_4(n) + 10 * S_3(n) + 10 * S_2(n) + 5 * S_1(n) + n + 1

Посчитаем сумму чисел в одной полосе (обозначенной одним цветом). Если бы в ее горизонтальной части числа стояли симметрично числам в вертикальной части, сумма была бы в точности k^4.
А так - получается меньше.
Насколько меньше:
k*s*(k-s) для клетки с координатами (k, s).
Вот это следует просуммировать по всем клеткам ниже главной диагонали (для которых k > s).

Помогает небольшая серия наблюдений:
(1*3^2+2*3^2) - (3*1^2+3*2^2) =
= S(I,2)*3^2 - S(II,2)*3 ,
(1*4^2+2*4^2+3*4^2) - (4*1^2+4*2^2+4*3^2) =
= S(I,3)*4^2 - S(II,3)*4 ,
(1*5^2+2*5^2+3*5^2+4*5^2) - (5*1^2+5*2^2+5*3^2+5*4^2) =
= S(I,4)*5^2 - S(II,4)*5,
etc., потому для k-го гномона разность =
= S(I,k-1)*k^2 - S(II,k-1)*k =
= (k-1)k/2 * k^2 - (k-1)k(2k-1)/6 * k =
= (k^4-k^3)/2 - (2k^4-3k^3+k^2)/6 =
= (1/2-1/3)k^4 + (1/2-1/2)k^3 - k^2/6 =
= (k^4-k^2)/6.
Чтобы найти S(IV,n), нужно будет прибавить
к сумме всех гномонов [S(IV,n)--S(II,n)] : 6.
Сама их сумма высчитывается по строкам:
S = (1+2+3+...+n) * (1^2+2^2+3^2+...+n^2) =
= S(I,n) * S(II,n). Все готово для ответа.
S(IV,n) = S + 1/6 * [S(IV,n)--S(II,n)] ,
потому 5 * S(IV,n) = 6S - S(II,n) , и
S(IV,n) = [6*S(I,n)*S(II,n) - S(II,n)] : 5.
Окончательно
----------------------------------------------------------
S(IV,n) = [6*S(I,n) - 1] * S(II,n) : 5 , то есть
----------------------------------------------------------
S(IV,n) = [3n(n+1)-1] * n(n+1)(2n+1)/30 .
----------------------------------------------------------
Не сбились ли мы с пути?
1^4 = 1 и (6*1 - 1) * 1 : 5 = 1,
1^4 + 2^4 = 17 и (6*3 - 1) * 5 : 5 = 17,
1^4 + 2^4 + 3^4 = 98 и (6*6 - 1) * 14 : 5 = 98,
и все сходится (формула правильная)))