Почему факториал можно использовать только на натуральных числах?

Гамма-функция, обозначаемая как Γ(n), обобщает понятие факториала на комплексные и действительные числа. Для положительных целых чисел n выполняется равенство: Γ(n) = (n - 1)!. В частности, для нуля: Γ(1) = 0! = 1.
Однако для отрицательных целых чисел и нуля гамма-функция не определена. Это связано с тем, что гамма-функция имеет простые полюса (места, где она не определена) в отрицательных целых числах.
Если рассмотреть свойство гамма-функции, которое можно выразить так:
Γ(n) = (n - 1) * Γ(n - 1),
то при подстановке отрицательных целых значений в эту формулу, вы будете сталкиваться с делением на ноль. Например:

Γ(0) не определена, поскольку Γ(0) = ∞.
Γ(-1) также не определена (простая pole).
Подобные рассуждения действуют и для других отрицательных целых чисел.

Что касается дробных чисел, гамма-функция для них определена, но также имеет свои особенности и свойственные значения, так как в этих случаях не ведется операция деления на ноль.
Подводя итог, можно сказать, что определение гамма-функции для отрицательных целых чисел невозможно из-за наличия полюсов, что ведет к неопределенности. Поэтому, в отличие от факториала, для нуля и отрицательных целых чисел гамма-функция не имеет значений.