Как доказать через подпоследовательности, что последовательность sin(n) расходится?

Примерно так можно.
sin(pi/2 - 1) = sin(pi/2 + 1) > 0.01 (тока докажи это аккуратно, напр, как-нибудь там по формуле приведения перейдя к косинусу, потом юзанув двойной угол и используя нер-во sin^2(a) < a^2)
И, кроме того, (pi/2 + 1) - (pi/2 - 1) > 1.

7 > 2pi, значит, из каждых семи последовательных точек последовательности { sin(n) } можно выбрать такую точку sin(n0), что n0 попадает в промежуток (pi/2 - 1, pi/2 + 1), перенесенный на целое число периодов синуса, т.е. sin(n0) > 0.01
И из этих же семи точек можно выбрать такую точку n1, что sin(n1) < 0.

Ну и строй подпоследовательность - то отрицательный членик выбирай, то больший 0.01, то отрицательный, то больший 0.01. Ну и разность соседних члеников у тебя ну никак к нулю не устремится.