X+y=5, x^3+y^3=35 через куб суммы объяснить решение ниже.

Чтобы решить систему уравнений
x + y = 5
x³ + y³ = 35,

воспользуемся формулой куба суммы:

(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

1. Возведем первое уравнение системы в куб:
(x + y)³ = 5³
x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 125

2. Заметим, что в полученном уравнении есть выражение (x³ + y³), которое равно 35 по условию. Подставим его:
35 + 3x²y + 3xy² = 125

3. Упростим уравнение:
3x²y + 3xy² = 90
x²y + xy² = 30

4. Выразим xy как общий множитель:
xy(x + y) = 30

5. Мы знаем, что (x + y) = 5. Подставим это значение:
xy * 5 = 30

6. Найдем xy:
xy = 6

7. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
x + y = 5
xy = 6

8. Решим эту систему, например, методом подстановки. Выразим x из первого уравнения:
x = 5 - y

9. Подставим x во второе уравнение:
(5 - y)y = 6

10. Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:
5y - y² = 6
y² - 5y + 6 = 0

11. Решим квадратное уравнение:
(y - 2)(y - 3) = 0
y₁ = 2, y₂ = 3

12. Найдем соответствующие значения x:
x₁ = 5 - y₁ = 5 - 2 = 3
x₂ = 5 - y₂ = 5 - 3 = 2

Ответ: система имеет два решения: (x₁, y₁) = (3, 2) и (x₂, y₂) = (2, 3).

3x²y + 3xy² = 90 там нужно делить на 3?
35 + 3x²y + 3xy² = 125 какое действие сдесь что получается 3x²y + 3xy² = 90 ?