Доказать теорему о существовании нетривиальных решений СЛАУ

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных. Доказать без опоры на то, что в любом базисе одинаковое число элементов.