Простые числа в квадрате плюс степень 22?

Уравнение, которое вы предоставили, имеет вид:

p^2 + q^2 + 22^k = r

где p, q и r - простые числа, а k - натуральное число.

Анализ уравнения

Мы можем начать с анализа уравнения и попытаться найти закономерности или ограничения, которые могут помочь нам найти решение.

p и q - простые числа, поэтому они должны быть нечетными (кроме 2).
22^k - степень 22, которая всегда четная (поскольку 22 четное).
r - простое число, поэтому оно должно быть нечетным (кроме 2).
Случай k = 1

Если k = 1, то уравнение принимает вид:

p^2 + q^2 + 22 = r

Мы можем попробовать найти простые числа p и q, которые удовлетворяют этому уравнению.

Если p = 3 и q = 5, то p^2 + q^2 = 9 + 25 = 34, что не равно 22 + r для любого простого числа r.
Если p = 5 и q = 7, то p^2 + q^2 = 25 + 49 = 74, что не равно 22 + r для любого простого числа r.
Случай k > 1

Если k > 1, то 22^k будет намного больше, чем p^2 + q^2 для любых простых чисел p и q. Поэтому уравнение не будет иметь решения для k > 1.

Вывод

Уравнение p^2 + q^2 + 22^k = r не имеет решений для натуральных k и простых чисел p, q и r.

Однако, если мы рассмотрим более широкий класс чисел, мы можем найти решения. Например, если мы позволим p, q и r быть не только простыми числами, но и любыми целыми числами, то уравнение может иметь решения.

Тут единственное решение, это (2, 3, 3, 10661).

Как обычно, исследование этого равенства по различным модулям приводит ко многим выводам.

По модулю 2 (т.е. чётность): ровно одно из чисел p, q чётное. Пусть это р.
По модулю 3: q = 3.
Предлагаю автору самому закончить решение...