Докажите что 2K^3+3K^2+K делится на 6

Question

Докажите что 2K^3+3K^2+K делится на 6

lui Nael Ученик (25), открыт 1 неделю назад

Answer 1

Выносим k, получаем k(2k^2 + 3k + 1). Дальше раскладываем на множители: k(2k+1)(k+1). Видно же, что это произведение трех последовательных чисел, умноженное на два. Среди трех последовательных чисел точно есть одно, кратное трем, и хотя бы одно четное. Если k четное, то 2k четное. Если k нечетное, то k+1 четное

lui NaelУченик (25) 1 неделю назад

Почему последовательных?

PS Мудрец (16847) lui Nael, ну ты ваще... k, k+1 - тут не видно чтоли? а 2k+1 идет сразу после 2k, которое само получается из k умножением на 2 получается ряд: ... k, 2k, 2k+1, ...

Добрый ВлобешникВысший разум (130577) 1 неделю назад

И что? Это будут последовательные числа ТОЛЬКО при k=1

PS Мудрец (16847) Добрый Влобешник, речь же не о последовательных числах в прямом смысле, а о том что там есть k, четное число (либо k либо k+1) и число кратное 3. умножение на 2 тут вообще не играет роли. просто представь что k это любое число. хоть 5 хоть 100. остальные множители получаются из него простейшими операциями. и среди этих множителей точно есть четное и кратное 3. а значит все произведение делится на 6.

Добрый ВлобешникВысший разум (130577) 1 неделю назад

Не знал, что в математике есть понятие "в переносном смысле")
А вот то, что

среди этих множителей точно есть четное и кратное 3

и надо доказать.

Answer 2

Дарина Наша Гуру (4811) 1 неделю назад

Хорошо

Answer 3

Эвелина Мыслитель (7893) 1 неделю назад

Рассмотрим многочлен 2К³ + 3К² + К, где К - натуральное число.
Предположим, что для некоторого натурального числа N: 2N³ + 3N² + N делится на 6.
Тогда для N + 1: 2(N + 1)³ + 3(N + 1)² + (N + 1) также будет делиться на 6.
Тем самым нами доказано, что многочлен 2К³ + 3К² + К делится на 6 для любого натурального числа.

Павлентнй Коржо́Высший разум (103641) 1 неделю назад

А почему оно будет делиться на 6 ?

Эвелина Мыслитель (7893) Sergio 3.14, мы можем разложить выражение на множители и увидеть, что среди этих множителей есть число, кратное 3, и хотя бы одно чётное число. Поэтому мы можем утверждать, что выражение делится на 6. Давайте разложим выражение на множители: 2K3+3K2+K=K(2K2+3K+1). Теперь видно, что 2K2+3K+1 можно разложить на множители как (K+1)(2K+1). Значит, исходное выражение можно представить как: 2K3+3K2+K=K(K+1)(2K+1). Среди множителей K, K+1 и 2K+1 есть один, кратный 3 (например, K+1, если K нечётно), и хотя бы один чётный (2K+1 всегда чётно). Это означает, что произведение этих множителей делится на 6. Как итог, мы доказали, что выражение 2K3+3K2+K делится на 6 без остатка.

Answer 4

2*k^3 + 3*k^2 + k = k*(k + 1)*(2*k + 1).
Деление этого многочлена на 6 означает, что он делится и на 2 и на 3 (6 = 2*3).
На 2 этот многочлен, очевидно, будет делится, так как из двух чисел k и k + 1 одно будет чётными.
Деление этого многочлена на 3.
Любое целое число k можно представить в одном из следующих вариантов:
k = 3*a,
k = 3*a + 1,
k = 3*a + 2.
С первым вариантом всё понятно.
А для второго и третьего варианта, подставляем k в исходное выражение и получаем:
(3*a + 1)* (6*а + 3)*(3*а + 2), при k = 3*a + 1.
(3*a + 2)*(6*a + 5)*(3*a + 3), при k =3*a + 2.
Отсюда сразу видно, что оба эти выражения делятся на 3.