Загрязняет ли раствор фурацилина зубы с брекетами и нужно ли их чистить после споласкивания горла

Нитрофурал, он же фурацилин, - антисептическое средство местного действия. Так что он скорее очистит ваши брекеты от микрофлоры, что сидит в недоступных для щетки местах.
Но он неприятен на вкус, поэтому прополоскать после него полость рта неплохо бы.