Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, если С (-3; 6; 5), D (1; -4; -5).
Для составления уравнения сферы, диаметром которой является отрезок CD с координатами C(-3; 6; 5) и D(1; -4; -5), необходимо выполнить следующие шаги:
## Шаг 1: Найти центр сферы
Центр сферы находится в середине отрезка CD. Координаты центра O можно найти по формуле:
O(x₀, y₀, z₀) = ( (x_C + x_D) / 2, (y_C + y_D) / 2, (z_C + z_D) / 2 )
Подставляем значения:
x₀ = (-3 + 1) / 2 = -1, y₀ = (6 - 4) / 2 = 1, z₀ = (5 - 5) / 2 = 0
Таким образом, центр O имеет координаты (-1; 1; 0).
## Шаг 2: Найти радиус сферы
Радиус R равен половине длины отрезка CD. Сначала находим длину отрезка:
CD = √( (x_D - x_C)² + (y_D - y_C)² + (z_D - z_C)² ) = √( (1 - (-3))² + (-4 - 6)² + (-5 - 5)² )
= √(4² + (-10)² + (-10)²) = √(16 + 100 + 100) = √216 = 6√6
Следовательно, радиус R:
R = CD / 2 = (6√6) / 2 = 3√6
## Шаг 3: Составить уравнение сферы
Уравнение сферы с центром O и радиусом R имеет вид:
(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R²
Подставляем найденные значения:
(x + 1)² + (y - 1)² + z² = (3√6)²
Таким образом, окончательное уравнение сферы:
(x + 1)² + (y - 1)² + z² = 54
Найдем координаты центра сферы: Центр сферы находится в середине отрезка CD. Найдем координаты середины:
Координата x центра: (-3 + 1)/2 = -1
y-координата центра: (6 - 4)/2 = 1
Z-координата центра: (5 - 5)/2 = 0 Таким образом, центр сферы имеет координаты (-1; 1; 0).
Найдем радиус сферы: радиус сферы равен половине длины отрезка CD. Найдем длину отрезка CD:
CD = √((1 - (-3))^2 + (-4 - 6)^2 + (-5 - 5)^2) = √(16 + 100 + 100) = √216 = 6√6. Следовательно, радиус сферы равен (6√6)/2 = 3√6.
Запишем уравнение сферы: Уравнение сферы с центром в точке (a; b; c) и радиусом R имеет вид: (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 Подставим найденные значения: (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 0)^2 = (3√6)^2 (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54
Таким образом, уравнение сферы, диаметром которой является отрезок CD, имеет вид (x + 1)^2 + (y - 1)^2 + z^2 = 54.