Чему равно наибольшее значение выражения?

Question

Чему равно наибольшее значение выражения?

hippie Просветленный (31184), закрыт 1 месяц назад

Answer 1

Примерно так же. Понятно, что если речь о наибольшем значении, то имеет смысл рассматривать только неотрицательные синусы и косинусы, т.е. все αᵢ∈[0;½π]
Согласно неравенству AM-GM, каждую пару-произведение можно оценить сверху:
sin x·cos y=(√(sin x·cos y))²⩽(√(½·(sin²x+cos²y))²=½·sin²x+½·cos²y
Оценим так каждое слагаемое большой суммы S и сгруппируем суммы вида: ½·sin²αᵢ+½·cos²α=½
Общее число таких парных сумм: n
Отсюда S⩽½·n
Достигается это значение при равенстве всех αᵢ=¼·π (∀i)

Answer 2

По Коши-Буняковскому это не превосходит известного выражения, которое после замены
. cos²(x) = 1 - sin²(x)
равно
. КОРЕНЬ( Σsin²(aᵢ) · (n - Σsin²(aᵢ)) ).
Максимум выражения
. x(n - x)
достигается при x = n/2. Поэтому наше условие выглядит так:
. Σsin²(aᵢ) = n/2.
Это, очевидно, достигается. Сам максимум равен n/2.

Answer 3

sin a cos b = (sin(a+b) + sin(a-b))/2

sin α₁ cos α₂ = (sin(α₁ + α₂) + sin(α₁ - α₂))/2
sin α₂ cos α₃ = (sin(α₂ + α₃) + sin(α₂ - α₃))/2
⋮
sin αₙ cos α₁ = (sin(αₙ + α₁) + sin(αₙ - α₁))/2

∑ₖ₌₁ⁿ sin αₖ cos αₖ₊₁ = 1/2 ∑ₖ₌₁ⁿ ( sin(αₖ + αₖ₊₁) + sin(αₖ - αₖ₊₁) ), αₙ₊₁ = α₁

α₁ = α₂ = ⋯ = αₙ = θ

n sin θ cos θ = n/2 sin 2θ

max(sin 2θ) = 1 => max = n/2

Answer 4

Если взять все α₁, α₂, …, αₙ одинаковыми и равными, скажем, α, то каждый слагаемый будет одинаков:

sin αₖ cos α₍ₖ₊₁₎ = sin α cos α.

Тогда вся сумма будет равна

S = n · sin α cos α = n · (1/2) sin(2 α).

Максимум функции sin(2 α) равен 1, поэтому

max S = n · (1/2)·1 = n/2.

Интуитивно, чтобы «выжать» из каждого слагаемого sin αₖ cos α₍ₖ₊₁₎ больше 1/2, придётся делать sin αₖ близким к 1 и cos α₍ₖ₊₁₎ близким к 1. Но тогда следующий член в сумме (где уже стоит sin α₍ₖ₊₁₎) сильно «теряет» из-за того, что α₍ₖ₊₁₎ пришлось брать близким к 0 (чтобы cos α₍ₖ₊₁₎ ≈ 1). Подобный перебор показывает, что улучшить «средний» вклад каждого члена выше 1/2 не удаётся.