Сколько осей вращения может быть у сферы одномоментно

в трёхмерном пространстве три.

Простое вращение имеет всегда одну ось - просто она не обязана совпадать с координатными осями в твоей системе отсчета.
Но вращение может быть и комбинированным - например, вокруг разных осей с разными скоростями. При желании это можно трактовать как повороты самой оси во времени, а можно - как переменные скорости вращения вокруг различных неподвижных осей. И тогда количество участвующих осей может быть произвольным. Это уж как уместнее для текущей задачи.

Бесконечное число осей.

Именно столько имеет любой объеҡт во Вселенной, за счёт бесконено сложных, спиралеподобных, вложенных друг в дрүга траекторий. Во все стороны))
Причём ҫкорости, усорения – везде огромны.

Т.о. каждый объект, сложно сдвинуть – причём абсолютно в любую сторону, со своего магистрального пути, даже если объект, якобы поҡоится (не бывает такого).

Так и работает явление, называемое инерцией))

Если система отсчета связана с самолетом, а ось гирокомпаса направлена а зенит, то действительно при всех маневрах самолета ось вращения гирокомпаса занимает бесконечное количество положений в выбранной системе координат.

Согласно теореме вращения Эйлера, любое вращающееся трёхмерное тело, имеющее неподвижную точку, также имеет и ось вращения. Таким образом, в более общем случае вращения трёхмерного тела говорят о мгновенной оси вращения.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0