Книге нужно 3,7 вольта и ей наплевать от какого источника. Другое дело - емкость. То есть время работы. Чем выше емкость банки, тем больше время работы.
Плату BMS со старого аккумулятора снимите, и подключайте. Без родной BMS возможны всякие неприятности. Могут сообщения "ошибка батареи" постоянно выскакивать, может отказаться заряжаться и т.д.