Задача по физике

Дано:

• Стальной вал.
• Крутящие моменты:
• M1 = 800 Нм
• M2 = 900 Нм
• M3 = 1300 Нм
• M4 = 3000 Нм
• Допускаемое напряжение кручения [τ] = 35 МПа = 35 × 10^6 Па
• Кольцевой вал: d/D = 0.7 (где d — внутренний диаметр, D — внешний диаметр).
• Необходимо сравнить массы обоих валов (полнотелого и кольцевого).

Решение:

1. Определение расчетного крутящего момента для полнотелого вала:

Сначала нужно определить максимальный крутящий момент, действующий на вал. Для этого нужно учесть направления моментов на схеме.

По направлению часовой стрелки: М1 + М3 = 800 + 1300 = 2100 Нм
Против часовой стрелки: М2 + М4 = 900 + 3000 = 3900 Нм

Результирующий момент: M = 3900-2100 = 1800 Нм

2. Расчет диаметра вала по условию прочности при кручении:

Условие прочности при кручении:
τ = Mt / Wp ≤ [τ]
Где:
• τ - напряжение кручения
• Mt - расчетный крутящий момент = 1800 Нм
• Wp - полярный момент сопротивления

• Для полнотелого вала: Wp = πd³/16
• d = корень третьей степени из (16 × Mt / (π × [τ] ))

Подставляем значения:

d = корень третьей степени из (16 × 1800 / (π × 35 × 10^6 )) ≈ 0.047 м = 47 мм

3. Расчет диаметра кольцевого вала:

Для кольцевого вала полярный момент сопротивления Wp = (π × D³ / 16) × (1 - (d/D)^4)
Учитывая что d = 0.7D
Wp = (π × D³ / 16) × (1 - 0.7^4) ≈ 0.1025πD³

Подставляем в условие прочности:
τ = Mt/Wp ≤ [τ]
1800 / (0.1025×π×D^3) = 35×10^6
D³ = 1800 / (0.1025 × π × 35 × 10^6)
D = корень третьей степени из (1800 / (0.1025 × π × 35 × 10^6)) ≈ 0.0528 м = 52.8 мм
d = 0.7D = 0.7 × 52.8 = 37 мм

4. Сравнение масс:
• Масса прямо пропорциональна объёму, а объём прямо пропорционален площади поперечного сечения.
• Площадь полнотелого вала: Sp = π × d^2 / 4 = π × 47^2 /4 ≈ 1735 мм^2
• Площадь кольцевого вала: Sk = π × (D^2-d^2) /4 = π × (52.8^2 - 37^2) / 4 ≈ 1162 мм^2

Вывод:

• Требуемый диаметр полнотелого стального вала: d ≈ 47 мм.
• Требуемый внешний диаметр кольцевого вала: D ≈ 52.8 мм, внутренний диаметр d ≈ 37 мм.
• Площадь сечения (а значит и масса при одинаковой длине) кольцевого вала меньше площади сечения полнотелого вала.

Сравнение масс:
Кольцевой вал имеет меньшую массу (на 30%), чем полнотелый, что позволяет сэкономить материал.