Разложить в ряд

Разложить функцию f(x) = x^4 cos(1/(x)) в ряд Маклорена (ряд Тейлора в точке x=0) не получится в стандартном смысле. Причина этому – особенность поведения cos(1/x) вблизи нуля.

Что можно сделать?
1. Ряд Лорана: Можно рассмотреть разложение в ряд Лорана для функции cos(1/x), но такой ряд будет иметь отрицательные степени x, и, умножая на x^4, мы получим ряд Лорана с ограниченным количеством отрицательных степеней, а не ряд Маклорена.
2. Специальные методы: Для подобных функций часто используют специальные методы, такие как асимптотические разложения, которые могут давать полезную информацию о поведении функции в окрестности нуля.

Приближение:
Если рассматривать x ≠ 0, то можно воспользоваться разложением косинуса в ряд Тейлора (Маклорена):
cos(u) = 1 - (u^2)/(2!) + (u^4)/(4!) - (u^6)/(6!) + … = ∑_(n=0)^(∞)((-1)^n u^(2n))/((2n)!)

Подставляя u = 1/x, получаем:
cos(1/x) = 1 - ((1/x)^2)/(2!) + ((1/x)^4)/(4!) - ((1/x)^6)/(6!) + … = ∑_(n=0)^(∞)((-1)^n (1/x)^(2n))/((2n)!)

Теперь, умножая на x^4:
x^4 cos(1/x) = x^4 (1 - 1/(2x^2) + 1/(24x^4) - 1/(720x^6) + …) = x^4 - (x^2)/2 + 1/24 - 1/(720x^2) + …
x^4 cos(1/x) = x^4 - (x^2)/2 + 1/24 - 1/(720x^2) + O(1/(x^4))

Этот ряд не является рядом Маклорена, так как он содержит отрицательные степени x, но он может быть полезен для приближения значений функции при больших значениях |x|.

Не удалось найти решение этой задачи. Но для её решения можно воспользоваться онлайн-калькуляторами разложения функции в ряд Тейлора, например, на сайтах allcalc.ru или ru.symbolab.com