В пульте была батарейка, очень сильно нагрелась и начала вонять паленым. Брат обжег палец. Что делать с батарейкой?

Батарейка ? Просто выбросить.
Аккумулятор литиевый? - немедленно выбросить, прям немедленно , хоть в окно , если там ничего горючего нет ( в сугроб).

Пульт- тоже , если он короткое замыкание устраивает, то новые батареи в него ставить не стоит, будет то же самое

Это решать тебе, если хочешь можешь использовать как нагревательный элемент, но недолго.

Либо пульт китаешина либо батарейки китайские штуковины такие так что так

Выкинуть, бракованная. Хотя возможно с пультом проблема.