Может ли гражданская больница открыть больничный лист контрактнику с сво?

нет

По своему региону прописки вроде бы может, а вот если ты контрактник и в другом регионе, то нет. Чаще всего продление отпуска зависит от командира воинской части, на основании твоего больничного листа.
Вообще сейчас больницы жестко сотрудничают с военкомами, и скорее всего отправят именно на дополнительный медосмотр в здание военкомата, где уже примут окончательное решение.

Могут, только документы должны будут передать в военный госпиталь, и возни с этим много...

Должен обратиться в больницу, подведомственную МО РФ. В гражданскую только в крайнем случае: поступил на скорой, или далеко до ведомственной больницы. По справке из неё отпуск МОЖЕТ БЫТЬ продлён (а может и не быть). Явка к месту службы как договоришься с командиром. Если не договорился — то по окончании отпуска, даже если болеешь

Военнослужащие не застрахованы ни по ОМС для гражданской больницы или поликлиники, ни от временной нетрудоспособности для больничного листа. Поэтому больничный им, в принципе, не положен, военным при болезни оформляют только справку. Однако до конца СВО, военнослужащие, находящиеся в отпуске, могут обращаться в региональные и муниципальные медорганизации при заболеваниях, включённых в программу госгарантий, по Постановлению Правительства РФ от 24.10.2024 N 1423.

Если госпиталя нет в вашем городе, то спокойно можно и в гражданскую больницу обращаться несмотря на отсутствие полиса.