Написать уравнение параболы и ее директрисы. Построить параболу.

Находим точки пересечения прямой и окружности:

Подставляем x = -y в уравнение окружности:

(-y)² + y² + 4y = 0
2y² + 4y = 0
2y(y + 2) = 0

Получаем два решения: y = 0 и y = -2. Соответствующие значения x: x = 0 и x = 2.

Таким образом, точки пересечения: (0, 0) и (2, -2).

2. Уравнение параболы:

Так как парабола симметрична относительно оси Oy, ее уравнение имеет вид x² = 2py.

Подставляем координаты точки (2, -2) в уравнение параболы:

2² = 2p(-2)
4 = -4p
p = -1

Уравнение параболы: x² = -2y.

3. Уравнение директрисы:

Директриса параболы x² = 2py имеет уравнение y = -p/2. В нашем случае p = -1, поэтому уравнение директрисы: y = 1/2.

4. Построение параболы:

Парабола x² = -2y имеет вершину в точке (0, 0) и ветви направлены вниз. Директриса — горизонтальная прямая y = 1/2. Фокус параболы находится в точке (0, -1/2). Парабола проходит через точки (2, -2) и (-2, -2).