Исследуйте функцию и если можно таблицу

9

Давайте поэтапно исследуем функцию y = 2 + 5x³ + 3x⁵.

Область определения функции D(y)
Поскольку функция является полиномом, область её определения — все действительные числа, то есть:
D(y) = R.
Множество значений функции E(y)
Полиномы могут принимать любые значения на своей области определения, так как степень функции — нечётная и коэффициенты положительные. Следовательно, множество значений функции также будет равно всем действительным числам:
E(y) = R.
Функция не периодическая
Функция y = 2 + 5x³ + 3x⁵ не является периодической, так как для периодических функций обязательно существует положительная постоянная, с которой функция повторяется. В данном случае нет такого периода, так как степень полинома нечётная, и функция не может быть периодической.
Функция y(-x)
Для нахождения функции y(-x) подставляем -x вместо x:
y(-x) = 2 + 5(-x)³ + 3(-x)⁵ = 2 - 5x³ - 3x⁵.
Видно, что y(-x) = -y(x) - 2, следовательно, функция нечётная (она симметрична относительно начала координат).
Точки пересечения с осями координат (Ox и Oy)
Пересечение с осью Ox (y = 0):
Решим уравнение 0 = 2 + 5x³ + 3x⁵:
3x⁵ + 5x³ + 2 = 0. Это кубическое уравнение можно решить численно или графически, так как его аналитическое решение довольно сложное. Однако из-за его степени, мы знаем, что существует хотя бы одно решение.
Пересечение с осью Oy (x = 0):
Подставим x = 0 в исходное уравнение:
y(0) = 2 + 5(0)³ + 3(0)⁵ = 2.
Следовательно, точка пересечения с осью Oy — (0, 2).
Исследование функции на монотонность и экстремумы
Для исследования функции на монотонность, найдём её производную.
y' = 15x² + 15x⁴.
Уравнение y' = 0 даёт:
15x² + 15x⁴ = 0,
15x²(1 + x²) = 0.
Решение этого уравнения — x = 0 (1 + x² ≠ 0 для всех x).
Теперь исследуем знаки производной.
Для x > 0: y' > 0, функция возрастает.
Для x < 0: y' > 0, функция также возрастает, так как производная всегда положительна.
Таким образом, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения, и экстремумов не имеет.
Ответ на все пункты:

D(y) = R
E(y) = R
Функция не периодическая.
y(-x) = -y(x) - 2
Пересечение с осью Oy в точке (0, 2), пересечение с осью Ox решается численно.
Монотонно возрастает на всей области определения, экстремумов нет.