Градусная мера угла в тетраэдре

Не знаю на сколько полезен ответ, может сложно будет.

1. Визуализация и построение:

Нарисуйте правильный тетраэдр DABC.
Отметьте середины ребер AD (точка M) и DC (точка N).
Проведите прямые MN и BD.
2. Использование свойств правильного тетраэдра:

Все ребра правильного тетраэдра равны.
Все грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники.
3. Определение параллельности:

Докажите, что прямая MN параллельна прямой AC (это следует из того, что MN — средняя линия треугольника ADC).
4. Нахождение угла между AC и BD:

Угол между MN и BD равен углу между AC и BD (так как MN || AC).
Найдите угол между AC и BD. Для этого можно построить параллелограмм на векторах AC и BD и найти угол между его сторонами. Альтернативно, можно воспользоваться теоремой косинусов, рассматривая треугольник, образованный AC, BD и отрезком, соединяющим их середины.
5. Ответ:

Запишите градусную меру угла между прямыми MN и BD.
Подробное решение:

MN || AC: MN - средняя линия треугольника ADC, поэтому MN || AC.

Угол между AC и BD: Пусть O - середина отрезка AB, а E - середина отрезка CD. Тогда OE - общий перпендикуляр к AC и BD. Рассмотрим четырехугольник AECB. Его диагонали AC и BE перпендикулярны. Поскольку тетраэдр правильный, медианы граней (в данном случае, грани ADB и BCD, а также медианы AC и BD) равны. Значит, отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра перпендикулярны. Тогда угол между AC и BD равен 90°. Это доказывается через векторы, если ввести систему координат и вычислить скалярное произведение векторов AC и BD, которое окажется равным нулю.

Вывод: Поскольку MN || AC, угол между MN и BD равен углу между AC и BD, то есть 90°.

Ответ:

Градусная мера угла между прямыми MN и BD равна 90°.