Помогите срочно с вероятностью и статистикой

Question

Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в небольшом зале перед эскалаторами. Утром, когда двери на вход только открылись, зал перед эскалаторами был пуст и людей на платформу доставлял только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся с толпой, так что за  
20 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили второй эскалатор, но число людей в зале продолжило увеличиваться, и ещё через 
65 минут зал заполнился целиком. Через сколько минут зал опустеет, если включить третий эскалатор?

NikoLIVE · Answer

Давайте решим эту задачу, используя математическое моделирование.

1. **Определение переменных:**
   - Пусть $ V $ — объем зала (максимальное количество людей, которое может вместить зал).
   - Пусть $ r $ — скорость, с которой люди заходят в зал (люди в минуту).
   - Пусть $ e $ — скорость, с которой один эскалатор выводит людей из зала (люди в минуту).

2. **Уравнение для первых 20 минут:**
   - За 20 минут зал заполнился наполовину, значит, количество людей в зале стало $ \frac{V}{2} $.
   - Уравнение: $ 20r - 20e = \frac{V}{2} $ (1)

3. **Уравнение для следующих 65 минут:**
   - За следующие 65 минут зал заполнился полностью, значит, количество людей в зале стало $ V $.
   - Уравнение: $ 65r - 65 \cdot 2e = V - \frac{V}{2} $ (2)

4. **Решение системы уравнений:**
   - Из уравнения (1): $ 20r - 20e = \frac{V}{2} $
   - Из уравнения (2): $ 65r - 130e = \frac{V}{2} $

5. **Найдем отношение $ \frac{r}{e} $:**
   - Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
     $$
     \frac{65r - 130e}{20r - 20e} = \frac{\frac{V}{2}}{\frac{V}{2}}
     $$
     $$
     \frac{65r - 130e}{20r - 20e} = 1
     $$
     $$
     65r - 130e = 20r - 20e
     $$
     $$
     45r = 110e
     $$
     $$
     \frac{r}{e} = \frac{110}{45} = \frac{22}{9}
     $$

6. **Время опустошения зала с тремя эскалаторами:**
   - Пусть $ t $ — время, за которое зал опустеет с тремя эскалаторами.
   - Уравнение: $ V - tr + 3te = 0 $
   - Подставим $ \frac{r}{e} = \frac{22}{9} $:
     $$
     V - te \left(\frac{22}{9} - 3\right) = 0
     $$
     $$
     V - te \left(\frac{22}{9} - \frac{27}{9}\right) = 0
     $$
     $$
     V - te \left(-\frac{5}{9}\right) = 0
     $$
     $$
     V = -\frac{5}{9}te
     $$
     $$
     t = \frac{9V}{5e}
     $$

7. **Найдем $ e $ из уравнения (1):**
   - $ 20r - 20e = \frac{V}{2} $
   - Подставим $ r = \frac{22}{9}e $:
     $$
     20 \cdot \frac{22}{9}e - 20e = \frac{V}{2}
     $$
     $$
     \frac{440}{9}e - 20e = \frac{V}{2}
     $$
     $$
     \frac{440e - 180e}{9} = \frac{V}{2}
     $$
     $$
     \frac{260e}{9} = \frac{V}{2}
     $$
     $$
     V = \frac{520e}{9}
     $$

8. **Подставим $ V $ в уравнение для $ t $:**
   - $ t = \frac{9 \cdot \frac{520e}{9}}{5e} $
   - $ t = \frac{520}{5} $
   - $ t = 104 $ минут

Таким образом, зал опустеет через 104 минуты, если включить третий эскалатор. Нейросеть.