Схема Горнера. Математика

Да, схему Горнера можно использовать для разложения уравнения, даже если коэффициенты этого уравнения являются дробными.

Схема Горнера — это алгоритм для вычисления значения многочлена в заданной точке и одновременного деления многочлена на (x — a), где «a» — это заданная точка. То, что коэффициенты являются целыми или дробными, никак не влияет на работоспособность алгоритма.

Пример:

Давайте разложим многочлен P(x) = 0,5x³ - 1,25x² + x - 0,75 по схеме Горнера, где a = 1.

Записываем коэффициенты многочлена:

0.5 -1.25 1 -0.75

Рисуем таблицу схемы Горнера:

| 0.5 -1.25 1 -0.75
---|-----------------------------
1 |

Переносим первый коэффициент в нижнюю строку:

| 0.5 -1.25 1 -0.75
---|-----------------------------
1 | 0.5

Умножаем перенесённый коэффициент на «a» (в нашем случае на 1) и записываем результат под следующим коэффициентом:

| 0.5 -1.25 1 -0.75
---|-----------------------------
1 | 0.5 0.5

Складываем этот результат с коэффициентом над ним и записываем сумму в нижнюю строку:

| 0.5 -1.25 1 -0.75
---|-----------------------------
1 | 0.5 -0.75

(-1.25 + 0.5 = -0.75)

Повторяем шаги 4 и 5 для остальных коэффициентов:

| 0.5 -1.25 1 -0.75
---|-----------------------------
1 | 0.5 -0.75 0.25

(-0.75 * 1 = -0.75, 1 + (-0.75) = 0.25)

| 0.5 -1.25 1 -0.75
---|-----------------------------
1 | 0.5 -0.75 0.25 -0.5

(0.25 * 1 = 0.25, -0.75 + 0.25 = -0.5)

Результат:

Последнее число в нижней строке (-0,5) — это остаток от деления P(x) на (x - 1). Таким образом, P(1) = -0,5.
Остальные числа в нижней строке (0,5, -0,75, 0,25) — это коэффициенты частного, которое получается при делении P(x) на (x - 1). Это многочлен на единицу меньшей степени, чем P(x).
Таким образом:

P(x) = 0.5x³ - 1.25x² + x - 0.75 = (x - 1) * (0.5x² - 0.75x + 0.25) - 0.5

Как это помогает разложить уравнение?

Вычисление значения многочлена в точке: схема Горнера позволяет быстро вычислить P(a) (остаток от деления). Это полезно, если нужно проверить, является ли число «a» корнем многочлена (если P(a) = 0, то «a» — корень).
Понижение степени многочлена: если ‘a’ — корень многочлена P(x), то P(x) можно представить в виде (x — a) * Q(x), где Q(x) — многочлен на единицу меньшей степени, чем P(x). Схема Горнера позволяет найти коэффициенты Q(x). Понижение степени многочлена облегчает поиск его корней.
В заключение:

Схема Горнера — это универсальный алгоритм, который работает с любыми многочленами, независимо от того, являются ли их коэффициенты целыми или дробными. Он может быть очень полезен для вычисления значений многочленов и понижения их степени.

By Chat GPT 4o Free ;)