Как правильно пишеться фамилия(читайте полностью)

Как правильно пишется фамилия СычЁв или СычЕв. Мой друг говорит, что его фамилия пишеться Сычев, а говорится Сычёв. Он мне ещё сказал, что его родители говорят, что нужно писать Сычев, а говорить сычев. Я ему говорил, что это не так и большинство людей заместо ё пишут е, но он мне твердил, что я не прав. И мои аргументы были такими: "Если пишется Сычев, то ударение на ы, если Сычёв, ударение на ё, пишеться ё либо йо значит говориться ё. Раз пишеться Сычев, то тогда уже ударение по его логике, если должно быть ударение на е, то говориться СычЕв, а не Сычёв. Скажите мне, то, как я думаю это верно или нет?