Контрольная по геометрии 10 класс
через вершину А равностороннего треугольника АВС проведена прямая ДА, перпендикулярная плоскости треугольника АВС, где М - середина стороны ВС. Докажите, что прямые ВС и МД перпендикулярны
Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2см, проведена прямая ОМ, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если ОМ = 4см.
Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС = 6 м, ВD = 7 м, СD = 6 м.
Задача 1: Равносторонний треугольник и перпендикулярная прямая
Дано:
Треугольник ABC - равносторонний.
AM - прямая, перпендикулярная плоскости ABC (DA ⊥ (ABC)).
M - середина BC.
Доказать: BC ⊥ MD
Доказательство:
AM ⊥ BC. Так как DA перпендикулярна плоскости ABC, то DA перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности DA перпендикулярна BC.
AM ⊥ BC. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является и высотой. Значит, AM ⊥ BC.
BC ⊥ (DAM). Прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым DA и AM, лежащим в плоскости DAM. Следовательно, BC перпендикулярна плоскости DAM. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости).
BC ⊥ MD. Так как BC перпендикулярна плоскости DAM, то BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BC перпендикулярна MD.
Что и требовалось доказать.
Задача 2: Квадрат и перпендикулярная прямая
Дано:
Квадрат ABCD, сторона = 2 см.
O - точка пересечения диагоналей.
OM ⊥ (ABCD), OM = 4 см.
Найти: MA, MB, MC, MD
Решение:
Свойства квадрата: Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Диагональ квадрата со стороной 2 см равна 2√2 см. Значит, AO = BO = CO = DO = √2 см.
Рассмотрим треугольник MAO: Он прямоугольный (так как OM ⊥ (ABCD), то OM ⊥ AO). По теореме Пифагора:
MA² = OM² + AO² = 4² + (√2)² = 16 + 2 = 18 MA = √18 = 3√2 см
Вывод: Так как AO = BO = CO = DO и OM перпендикулярна плоскости ABCD, то расстояния от точки M до всех вершин квадрата одинаковы: MA = MB = MC = MD = 3√2 см.
Ответ: MA = MB = MC = MD = 3√2 см.
Задача 3: Перпендикулярные плоскости и перпендикуляры на линию пересечения
Дано:
Плоскости α ⊥ β
AC ⊥ l (прямой пересечения плоскостей), C ∈ l, AC = 6 м.
BD ⊥ l, D ∈ l, BD = 7 м.
CD = 6 м.
Найти: AB
Решение:
Построение: Соединим точки A и B, C и D.
Угол между перпендикулярами AC и BD Так как плоскости перпендикулярны и AC и BD перпендикулярны линии пересечения плоскостей, то угол ACD прямой. AC ⊥ CD, BD ⊥ CD, а поскольку плоскости перпендикулярны, то ADCB - прямоугольная трапеция, и ACD - прямой угол.
Проведем прямую AE параллельно CD AE = CD = 6м.
Треугольник ABE - прямоугольный AC перпендикулярна плоскости α и плоскость α перпендикулярна плоскости β, значит AC перпендикулярна прямой BD, которая лежит в плоскости β. Отсюда следует, что AB^2=AE^2+BE^2, где BE= AC+BD.
BE = AC + BD BE = 6 + 7 = 13м.
По теореме Пифагора найдем АВ: АВ² = АЕ² + ВЕ² = 6² + 13² = 36 + 169 = 205. АВ = √205 м.
Ответ: AB = √205 м.
