Математика, 10-11 класс

Для нахождения уравнения касательной к кривой Y = x^4 - 2x^2 в точке x = x0 = 2, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем значение функции в точке x0 = 2:

Y(x0) = (x0)^4 - 2(x0)^2 = 2^4 - 2 * 2^2 = 16 - 8 = 8

То есть, точка касания имеет координаты (2, 8).


2. Найдем производную функции Y = x^4 - 2x^2 для нахождения угла наклона касательной:

dY/dx = 4x^3 - 4x


3. Вычислим производную в точке x0 = 2:

dY/dx (x0) = 4 * (2)^3 - 4 * 2 = 4 * 8 - 8 = 32 - 8 = 24

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x = 2 равен 24.


4. Теперь можем записать уравнение касательной. Оно имеет вид:

Y - Y0 = m(x - x0)

Где:

m = 24 (угловой коэффициент),

(x0, Y0) = (2, 8) — точка касания.


Подставим значения:

Y - 8 = 24(x - 2)

Раскроем скобки:

Y - 8 = 24x - 48

Прибавим 8 к обеим частям уравнения:

Y = 24x - 40



Таким образом, уравнение касательной к кривой Y = x^4 - 2x^2 в точке x = 2 будет:

Y = 24x - 40.