ГЕОМЕТРИЯ 10 класс!!!! Помогите пожалуйста решить! срочно!

Давайте разберем задачу № 28.

**Условие задачи:**
В треугольнике \( \Delta ABC \) точка \( D \) лежит на стороне \( AB \), а точка \( E \) — на стороне \( AC \). Точки \( B \) и \( C \) лежат в плоскости \( \alpha \), а отрезок \( DE \) параллелен этой плоскости. Известно, что \( DE = 5 \, \text{см} \), а отношение \( BD : DA = 2 : 3 \). Требуется найти длину стороны \( BC \).

**Решение:**

1. **Обозначения:**
- Пусть \( BD = 2x \), тогда \( DA = 3x \), так как \( BD : DA = 2 : 3 \).
- Следовательно, \( AB = BD + DA = 2x + 3x = 5x \).

2. **Параллельность \( DE \) и плоскости \( \alpha \):**
- Поскольку \( DE \parallel \alpha \), то отрезок \( DE \) параллелен линии пересечения плоскости \( \alpha \) с плоскостью треугольника \( ABC \).
- Это означает, что \( DE \parallel BC \).

3. **Подобие треугольников:**
- Треугольники \( \Delta ADE \) и \( \Delta ABC \) подобны по признаку подобия (угол \( A \) общий, \( DE \parallel BC \)).
- Отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению соответствующих отрезков:
\[
\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}
\]
Подставляем известные значения:
\[
\frac{5}{BC} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}
\]
Отсюда:
\[
BC = \frac{5 \times 5}{3} = \frac{25}{3} \, \text{см}
\]

**Ответ:**
Длина стороны \( BC \) равна \( \frac{25}{3} \) см.

Теперь перейдем к задаче № 31.

**Условие задачи:**
В треугольнике \( \Delta ABC \) сторона \( BC \) параллельна плоскости \( \alpha \). Точка \( K \) — середина стороны \( AB \), и она лежит в плоскости \( \alpha \). Плоскость \( \alpha \) пересекает сторону \( AC \) в точке \( M \). Требуется доказать, что \( AM = MC \).

**Решение:**

1. **Обозначения:**
- Поскольку \( K \) — середина \( AB \), то \( AK = KB \).
- Плоскость \( \alpha \) содержит точку \( K \) и параллельна \( BC \).

2. **Параллельность и пересечение:**
- Так как \( BC \parallel \alpha \), то любая прямая, параллельная \( BC \) и лежащая в плоскости \( ABC \), будет пересекать плоскость \( \alpha \) в точке, которая делит отрезок \( AC \) пополам.
- Точка \( M \) — это точка пересечения плоскости \( \alpha \) с стороной \( AC \).

3. **Доказательство равенства отрезков:**
- Поскольку \( K \) — середина \( AB \) и \( \alpha \) параллельна \( BC \), то \( M \) должна быть серединой \( AC \).
- Следовательно, \( AM = MC \).

**Ответ:**
Точка \( M \) делит сторону \( AC \) пополам, то есть \( AM = MC \).