Математика 7 класс

Мне лень решать, вот тебе ответ от Gemini 2.5 pro. Я так проверил его решения вроде верно. Но сам проверь

1. На рисунке: a || b, ∠1 = 57°. Найти ∠2.

∠1 и ∠2 – накрест лежащие углы при параллельных прямых a и b и секущей c.

Накрест лежащие углы равны.

Ответ: ∠2 = 57°.

2. Отрезки EF и PQ пересекаются в их общей середине точке M. Докажите, что PE || QF.

Рассмотрим ΔPEM и ΔQFM.

EM = MF (M – середина EF)

PM = MQ (M – середина PQ)

∠PME = ∠QMF (вертикальные углы)

След., ΔPEM = ΔQFM (по двум сторонам и углу между ними, I признак).

Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠PEM = ∠QFM.

Эти углы – накрест лежащие при прямых PE и QF и секущей EF.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

След., PE || QF.

3. На рисунке: a || b, ∠2 в 3 раза больше ∠1. Найти эти углы.
(Предполагаем, что ∠1 и ∠2 - это внутренние односторонние углы, т.к. они связаны свойством параллельных прямых и условием про "в 3 раза". На рисунке это углы 4 и 5, или 3 и 6)

Пусть ∠1 = x. Тогда ∠2 = 3x.

∠1 и ∠2 – внутренние односторонние углы при a || b и секущей c.

Сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

x + 3x = 180°

4x = 180°

x = 180° / 4 = 45°

∠1 = 45°

∠2 = 3 * 45° = 135°

Ответ: 45° и 135°.

4. Отрезок DM – биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне DE и пересекающая сторону CD в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°.

Т.к. DM – биссектриса ∠CDE, то ∠CDM = ∠MDE = ∠CDE / 2 = 68° / 2 = 34°.

Значит, ∠NDM = 34°.

Т.к. NM || DE и DM – секущая, то ∠NMD = ∠MDE (как накрест лежащие углы).

След., ∠NMD = 34°.

Сумма углов в ΔDMN равна 180°.

∠DNM = 180° - (∠NDM + ∠NMD) = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°.

Ответ: Углы ΔDMN равны 34°, 34°, 112°.