Найти точки эктреиума

Решение:

1) Находим производную функции:
f'(x) = 15x⁴ - 75x² + 60

2) Приравниваем производную к нулю:
15x⁴ - 75x² + 60 = 0

Делим все на 15:
x⁴ - 5x² + 4 = 0

Замена t = x²:
t² - 5t + 4 = 0

Решаем квадратное уравнение:
t₁ = 1
t₂ = 4

Возвращаемся к x:
x² = 1 → x = ±1
x² = 4 → x = ±2

3) Получили точки: x = -2, -1, 1, 2

4) Исследуем знак производной на промежутках:
- На (-∞;-2) производная положительна (функция возрастает)
- На (-2;-1) производная отрицательна (функция убывает)
- На (-1;1) производная положительна (функция возрастает)
- На (1;2) производная отрицательна (функция убывает)
- На (2;+∞) производная положительна (функция возрастает)

5) Делаем выводы:
- В точке x = -2 функция имеет максимум (производная меняет знак с + на -)
- В точке x = -1 функция имеет минимум (производная меняет знак с - на +)
- В точке x = 1 функция имеет минимум (производная меняет знак с + на -)
- В точке x = 2 функция имеет максимум (производная меняет знак с - на +)

Ответ: Точки экстремумов: x = -2 (максимум), x = -1 (минимум), x = 1 (минимум), x = 2 (максимум).