Давно что-то диффурчиков не было. Мож кто-то заскучал?

Уравнение движения: m x'' = k / x³.
Поскольку сила зависит только от координаты x, система является консервативной. Найдем потенциальную энергию U(x), связанную с этой силой:
F(x) = -dU/dx
dU/dx = -k / x³
Интегрируя, получаем: U(x) = ∫(-k/x³) dx = -k * (x⁻²/(-2)) + C = k / (2x²) + C. Мы можем выбрать константу C = 0, тогда U(x) = k / (2x²).
Закон сохранения энергии гласит: E = T + U = (1/2) m (x')² + k / (2x²), где E - полная энергия, которая постоянна.
Чтобы найти E, используем начальное условие: при t → -∞, x(t) ≈ -vt.
Заметим, что при t → -∞, x(t) ≈ -v*(-∞) → +∞.
Скорость частицы при t → -∞: x'(t) = d/dt (-vt) = -v.
Подставим эти значения в выражение для энергии:
E = lim (t→-∞) [ (1/2) m (x')² + k / (2x²) ] = (1/2) m (-v)² + lim (x→+∞) [ k / (2x²) ] = (1/2) m v² + 0 = (1/2) m v².
Итак, уравнение сохранения энергии имеет вид:
(1/2) m (x')² + k / (2x²) = (1/2) m v²
m (x')² = m v² - k / x²
(x')² = v² - k / (m x²)
x' = dx/dt = ± √[ v² - k / (m x²) ]
Теперь нужно выбрать знак. Из начального условия мы знаем, что при t → -∞, x' → -v.
При t → -∞, x → +∞, поэтому k / (m x²) → 0. Значит, √[ v² - k / (m x²) ] → √[v²] = v (так как v > 0).
Чтобы x' стремилось к -v, мы должны выбрать отрицательный знак:
x' = - √[ v² - k / (m x²) ] = - √[ (m v² x² - k) / (m x²) ]
Поскольку при t → -∞, x → +∞ (x > 0), то √[x²] = x.
dx/dt = - √[ m v² x² - k ] / (√m * x)
Разделяем переменные:
√m * x dx / √[ m v² x² - k ] = - dt
Интегрируем обе части:
∫ √m * x dx / √[ m v² x² - k ] = ∫ - dt
Для левого интеграла сделаем замену: u = m v² x² - k, тогда du = 2 m v² x dx, и x dx = du / (2 m v²).
∫ √m * (du / (2 m v²)) / √u = -t + C₁ (где C₁ - константа интегрирования)
(√m / (2 m v²)) ∫ u⁻¹ᐟ² du = -t + C₁
(√m / (2 m v²)) * (2 √u) = -t + C₁
(1 / (√m v²)) * √[ m v² x² - k ] = -t + C₁
Определим константу C₁, используя асимптотическое поведение x(t) ≈ -vt при t → -∞:
Подставим x ≈ -vt в полученное уравнение:
(1 / (√m v²)) * √[ m v² (-vt)² - k ] ≈ -t + C₁
(1 / (√m v²)) * √[ m v⁴ t² - k ] ≈ -t + C₁
При t → -∞, t² → +∞. Вынесем главный член под корнем:
(1 / (√m v²)) * √[ m v⁴ t² (1 - k / (m v⁴ t²)) ] ≈ -t + C₁
(1 / (√m v²)) * √[m v⁴ t²] * √(1 - k / (m v⁴ t²)) ≈ -t + C₁
(1 / (√m v²)) * (√m v² |t|) * (1 - k / (2 m v⁴ t²) + O(t⁻⁴)) ≈ -t + C₁
Поскольку t → -∞, |t| = -t.
(-t) * (1 - k / (2 m v⁴ t²) + ...) ≈ -t + C₁
-t + k / (2 m v² t) + ... ≈ -t + C₁
Сравнивая левую и правую части при t → -∞, получаем C₁ = 0.
Итак, мы имеем:
(1 / (√m v²)) * √[ m v² x² - k ] = -t
Возводим обе части в квадрат:
(1 / (m v⁴)) * (m v² x² - k) = (-t)² = t²
m v² x² - k = m v⁴ t²
m v² x² = m v⁴ t² + k
x² = (m v⁴ t² + k) / (m v²) = v² t² + k / (m v²)
Отсюда получаем два возможных решения для x(t):
x(t) = ± √[ v² t² + k / (m v²) ]
Чтобы выбрать правильный знак, снова обратимся к начальному условию x(t) ≈ -vt при t → -∞.
Рассмотрим поведение √[ v² t² + k / (m v²) ] при t → -∞:
√[ v² t² + k / (m v²) ] = √[ v² t² (1 + k / (m v⁴ t²)) ]
= |v| |t| √(1 + k / (m v⁴ t²))
Так как v > 0 и t → -∞ (|t| = -t), то:
= v (-t) √(1 + k / (m v⁴ t²))
≈ -vt (1 + (1/2) * k / (m v⁴ t²)) (Используя разложение Тейлора √(1+ε) ≈ 1 + ε/2 для малых ε)
≈ -vt + k / (2 m v³ t)
Видно, что выражение √[ v² t² + k / (m v²) ] асимптотически стремится к -vt при t → -∞.
Следовательно, чтобы удовлетворить условию x(t) → -vt, мы должны выбрать положительный знак.
Окончательный закон движения:
x(t) = √[ v² t² + k / (m v²) ]