Геометрия/стереометрия 10 класс, пирамида, решение задач по стереометрии (пирамида)

Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой равна 10см. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 45°.Основанием пирамиды является прямоугольная трапеция, меньшая боковая сторона которой равна 10см. Острый угол трапеции равен 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен 45°.

Ответ: 150(1+√2)
Решение:

Основание пирамиды — прямоугольная трапеция
ABCD:

Меньшая боковая сторона
AB=10 см (высота трапеции).
Острый угол при основании
AD равен 30∘

Сторона СD=АВ/sin30=10/0,5=20
Разность оснований, АD-ВС=СD×cos30°=20×√3/2=10√3см

Условие тангенциальности трапеции (сумма боковых сторон равна сумме оснований)

Площадь основания трапеции= 150см²

Радиус вписаной окружности 30см

Высота пирамиды H:
Так как двугранные углы при рёбрах основания равны
45∘ , высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности: H=r=5см

Апофемы боковых граней для каждой грани апофема l=5√2см

Площадь боковой поверхности 150√2см²

Полная площадь поверхности 150(1+√2)см²