В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 7 боковая сторона равна 10 а один из углов 120 градусов

**Задача 1:**

1. **Дополнительные построения:** Опустим высоты из вершин меньшего основания на большее основание. Получим два прямоугольных треугольника.

2. **Находим отрезок, на который высота делит большее основание:** Угол при большем основании равен 180° - 120° = 60°. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и частью большего основания, катет, лежащий против угла 60°, равен боковой стороне, умноженной на sin(60°): 10 * (√3/2) = 5√3.

3. **Находим длину большего основания:** Так как трапеция равнобедренная, то части, на которые высоты делят большее основание, равны. Значит, большее основание равно 7 + 2 * 5√3 = 7 + 10√3.

4. **Находим периметр:** Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон: 7 + 10 + 10 + (7 + 10√3) = 34 + 10√3.

**Ответ 1: 34 + 10√3**


**Задача 2:**

1. **Треугольник CMD равнобедренный:** CM = CD по условию.
2. **Углы при основании равнобедренного треугольника равны:** ∠CMD = ∠CDM.
3. **Сумма углов треугольника равна 180°:** ∠MCD = 180° - 2 * ∠CMD.
4. **Углы BCD и BAD равны:** так как это противолежащие углы параллелограмма.
5. **Угол BCD равен сумме углов:** ∠BCD = ∠BCM + ∠MCD.
6. **Углы BCM и CDA равны:** как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей CD.
7. **Угол CDA равен сумме углов:** ∠CDA = ∠CDM + ∠MDA.
8. **Выражаем угол BAD:** ∠BAD = ∠BCD = ∠BCM + ∠MCD = ∠CDA + (180° - 2 * ∠CMD) = (∠CMD + ∠MDA) + (180° - 2 * ∠CMD) = 180° - ∠CMD + ∠MDA = 180° - ∠CMD + 65°.
9. **Так как CMD равнобедренный:** ∠CMD=∠CDM. А так как CM=CD, то треугольник CMD равнобедренный. Следовательно ∠CMD=(180°-∠MCD)/2.
10. **Углы BCD и CDA равны:** По свойству параллелограмма противоположные углы равны.
11. **Находим угол BAD:** ∠BAD=∠BCD=∠CDA = ∠CDM +∠MDA. Так как ∠CDM=∠CMD, то ∠BAD = ∠CMD + 65°. Сумма углов треугольника ADM равна 180°, поэтому ∠DAM + ∠ADM + ∠DMA = 180°, откуда ∠DAM=180°-65°-∠CMD. Поскольку углы BAD и DAM смежные, то ∠BAD=180°-∠DAM = 180°-(180°-65°-∠CMD) = 65°+∠CMD. Поскольку это один и тот же угол, ∠CMD + 65°=65°+∠CMD.
Из параллелограмма ∠BCD + ∠BAD = 180° и ∠BCD=∠BAD, следовательно 2∠BAD=180°, ∠BAD=180°/2=55°

**Ответ 2: 55°**


**Задача 3:**

1. **Обозначим:** сторону ромба - *a* = 15, синус угла между диагональю и стороной - sin(α) = 0,6. Пусть меньшая диагональ - *d1*, большая диагональ - *d2*.

2. **Находим половину меньшей диагонали:** Половина меньшей диагонали является катетом прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба. Этот катет равен *a* * sin(α) = 15 * 0,6 = 9. Значит, *d1* = 2 * 9 = 18.

3. **Находим половину большей диагонали:** По теореме Пифагора, половина большей диагонали равна √(*a*² - (d1/2)²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12. Значит, *d2* = 2 * 12 = 24.

**Ответ 3: 24**