Помогите с дз по геометрии пж
Докажите, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.
Вот доказательство того, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы:
Дано:
Треугольник ABC - прямоугольный, угол C = 90°
Окружность описана около треугольника ABC
О - центр окружности
Требуется доказать:
О - середина гипотенузы AB
Доказательство:
Построение: Проведем диаметр окружности, проходящий через вершину C. Обозначим второй конец этого диаметра D.
Угол, опирающийся на диаметр: Угол CBD опирается на диаметр CD, следовательно, угол CBD = 90°.
Параллельность: Поскольку угол ACB = 90° и угол CBD = 90°, то прямые AC и BD перпендикулярны одной прямой (BC). Следовательно, AC || BD.
Прямоугольник: Аналогично, угол CAD опирается на диаметр CD, значит, угол CAD = 90°. Так как угол ACB = 90° и угол CAD = 90°, то прямые BC и AD перпендикулярны одной прямой (AC). Следовательно, BC || AD.
Четырехугольник ACBD: В четырехугольнике ACBD противоположные стороны попарно параллельны (AC || BD и BC || AD), значит, ACBD - параллелограмм. Кроме того, один из углов этого параллелограмма прямой (угол ACB = 90°), значит, ACBD - прямоугольник.
Диагонали прямоугольника: Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, CD = AB и точка O (центр окружности) является серединой CD и AB.
Вывод: Таким образом, центр окружности O является серединой гипотенузы AB.
Что и требовалось доказать.
Доказательство того, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы:
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
Отметим точку O — середину отрезка AB.
Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OA.
Так как BO = OA, то точка B также принадлежит этой окружности.
Угол ACB = 90°, а угол AOB = 180°. Угол ACB = 1/2 угла AOB, значит, угол ACB является вписанным в окружность и опирается на её диаметр AB.
Таким образом, все вершины треугольника ABC лежат на окружности, значит, точка O является центром описанной около него окружности, что и требовалось доказать.
кто обоссал центр окружности