Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ABC

Рассмотрим задачу по пунктам.


---

Условие:

Серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает сторону AC в точке D.

Значит:

Прямая проходит через середину отрезка BC и перпендикулярна ему.

Точка D лежит на этом серединном перпендикуляре.

Значит, по свойству серединного перпендикуляра, BD = DC.



---

а) Найти AD и CD, если BD = 5 см, AC = 8,5 см.

Пусть:

BD = 5 см, тогда DC = 5 см, так как D лежит на серединном перпендикуляре к BC.

Тогда весь отрезок BC = BD + DC = 10 см.

Нам даны AC = 8,5 см.


Точки A, D и C лежат на одной прямой, и D между ними (по условию — D лежит на отрезке AC).

Рассмотрим треугольник ADC: Мы знаем стороны:

CD = 5 см,

AC = 8.5 см.


Тогда AD = AC − CD = 8.5 − 5 = 3.5 см.

Ответ:

AD = 3,5 см,

CD = 5 см.



---

б) Найти AC, если BD = 11,4 см, AD = 3,2 см.

Поскольку D лежит на серединном перпендикуляре к BC, то:

BD = DC = 11,4 см.


И снова D лежит на отрезке AC, значит:

AC = AD + DC = 3,2 + 11,4 = 14,6 см.


Ответ:
AC = 14,6 см.


---

Обратная теорема серединного перпендикуляра (доказательство):

Теорема: Если точка D лежит на одинаковом расстоянии от концов отрезка BC, т.е. BD = DC, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.

Доказательство:

Пусть D — точка такая, что BD = DC.

Рассмотрим треугольники BDM и CDM, где M — середина отрезка BC.

BM = CM (по определению середины),

BD = DC (по условию),

DM — общая сторона.


По трем сторонам треугольники BDM и CDM равны.

Следовательно, углы при вершине M равны, а значит, угол BDM = угол CDM.

Таким образом, прямая DM перпендикулярна BC, и проходит
через середину BC — т.е. это и есть серединный перпендикуляр.

Что и требовалось доказать.