Вычислить производную на основании определения

Это частный случай, y'=0*2x-x^2-1*(2-2x)/(2x-x^2)^2=(2x-2)/(2x-x^2)^2

Решение. y=(2*x-x^2)^(-1); y'=-((2*x-x^2)^(-2))*(2-2*x)=2*(x-1)/((2*x-x^2)^(-2));

(дельта У ) =это приращение функции
(дельта Х) = это приращение аргумента
производная равна пределу (дельта У )/(дельта Х)
дельта У равна разности 1/(2*(Х+дельта Х) -(Х+дельта Х) ^2) -
1/(2*Х - Х^2)
приводим к общему знаменателю и раскрывем скобки в числителе,
получаем: в числителе:
2*Х- Х^2 -2*Х -2*(дельта Х) +Х^2 + 2* Х* (дельта Х) + (дельта Х) ^2
все слагаемые без дельта Х взаимоуничтожаются, слагаемым (дельта Х ) в квадрате пренебрегаем (так как много меньше, чем дельта Х)
остается в числителе (дельта Х) * 2*(Х-1)
в знаменателе 2*(Х+дельта Х) -(Х+дельта Х) ^2 имеет пределом (2*Х - Х^2) . Поэтому знаменатель равен (2*Х - Х^2)^2.
приращение функции равно (дельта Х) * 2*(Х-1)/((2*Х - Х^2)^2).
Делим на приращение аргумента и (дельта Х) сокращается.
Получаем ответ, такой же что и по формулам взятия производных. Но здесь получено на основании определения производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента.