Помогите решить геометрию

1. Площадь осевого сечения равностороннего конуса равна 2√3. Найти объем конуса.

Решение:

- В равностороннем конусе \( l = h = r \).

- Площадь осевого сечения: \( S_{\text{ос}} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = 2\sqrt{3} \implies r^2 = 8 \implies r = 2\sqrt{2} \).

- Объем: \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (2\sqrt{2})^2 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{16\sqrt{2}\pi}{3} \).

Ответ: \( V = \frac{16\sqrt{2}\pi}{3} \).

---

2. Найти площадь боковой поверхности конуса, если образующая равна 4, а площадь основания \( \frac{16}{\pi} \).

Решение:

- Площадь основания: \( \pi r^2 = \frac{16}{\pi} \implies r^2 = \frac{16}{\pi^2} \implies r = \frac{4}{\pi} \).

- Площадь боковой поверхности: \( S_{\text{бок}} = \pi r l = \pi \cdot \frac{4}{\pi} \cdot 4 = 16 \).

Ответ: \( S_{\text{бок}} = 16 \).

---

3. Полукруг радиуса 6 см свернут в конус. Найдите объем конуса.

Решение:

- Полукруг радиуса \( R = 6 \) сворачивается в конус, где образующая \( l = 6 \).

- Длина дуги полукруга: \( \pi \cdot 6 = 6\pi \). Окружность основания: \( 2\pi r_{\text{осн}} = 6\pi \implies r_{\text{осн}} = 3 \).

- Высота: \( h = \sqrt{l^2 - r_{\text{осн

}}^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3} \).

- Объем: \( V = \frac{1}{3}\pi r_{\text{осн}}^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 3^2 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\pi \).

Ответ: \( V = 9\sqrt{3}\pi \).