Какова роль транзистора в генерации автоколебаний?

Он используется в качестве управляющего элемента. Именно транзистор "определяет" в какой момент времени и какую порцию энергии необходимо подать в частотозадающий элемент (например, параллельный колебательный контур) . Это достигается за счет обратной связи с контуром.
Короче, без транзистора колебания будут затухающими. А это значит, что без транзистора такая схема будет генерировать колебания только очень незначительное время.