Прошу у медиков разъяснения: почему донор не должен иметь татуировку?

Потому что теоретически при набивке тату Вам могли занести инфекцию.
Доноры, конечно, сдают анализы, но существует так называемая серонегативная фаза - скрытый период с момента заражения до проявления болезни, когда в организме еще не выработались антитела к инфекции и тест-система не может обнаружить проникший вирус (и у ВИЧ, например, она длится до полугода!) , поэтому в целях минимизации риска временный медотвод от донорства крови составляет 1 год (п. 1.3 раздела "Временные противопоказания" Перечня противоказаний к донорству крови и ее компонентов)