Сотовый телефон действительно передаёт сигнал в отключенном состоянии?

Нет, в выключенном состоянии он ничего не передаёт.
Но приёмная часть периодически опрашивается, и если базовая станция посылает спец. сигнал - "активатор", то телефон может самостоятельно включиться, и, соответственно, зарегистрироваться в сети. Раньше, когда в разных "веселых" регионах жадные операторы связи брали деньги даже за регистрацию телефона в сети, бывали случаи злоупотребления этой возможностью. Чтобы этого избежать, надо вынуть основную батарею. Резервная батарея, впаянная в плату телефона, питать передатчик НЕ МОЖЕТ, что бы ни выдумывали невежественные люди.
Впрочем, возможность дистанционного включения зависит от модели - радиоканалы большинства смартфонов достаточно надёжно выключаются программно.

Мобильные телефоны сотовой связи фактически являются сложной миниатюрной приемо-передающей радиостанцией. Каждому сотовому телефонному аппарату присваивается свой электронный серийный номер (ESN), который кодируется в микрочипе телефона при его изготовлении и сообщается изготовителями аппаратуры специалистам, осуществляющим его обслуживание. Кроме того, некоторые изготовители указывают этот номер в руководстве для пользователя. При подключении аппарата к сотовой системе связи техники компании, предоставляющей услуги этой связи, дополнительно заносят в микрочип телефона еще и мобильный идентификационный номер (MIN). Мобильный сотовый телефон имеет большую, а иногда и неограниченную дальность действия, которую обеспечивает сотовая структура зон связи. Вся территория, обслуживаемая сотовой системой связи, разделена на отдельные прилегающие друг к другу зоны связи или «соты» . Телефонный обмен в каждой такой зоне управляется базовой станцией, способной принимать и передавать сигналы на большом количестве радиочастот. Кроме того, эта станция подключена к обычной проводной телефонной сети и оснащена аппаратурой преобразования высокочастотного сигнала сотового телефона в низкочастотный сигнал проводного телефона и наоборот, чем обеспечивается сопряжение обеих систем. Периодически (с интервалом 30-60 минут) базовая станция излучает служебный сигнал. Приняв его, мобильный телефон автоматически добавляет к нему свои MIN- и ESN-номера и передает получившуюся кодовую комбинацию на базовую станцию. В результате этого осуществляется идентификация конкретного сотового телефона, номера счета его владельца и привязка аппарата к определенной зоне, в которой он находится в данный момент времени. Когда пользователь звонит по своему телефону, базовая станция выделяет ему одну из свободных частот той зоны, в которой он находится, вносит соответствующие изменения в его счет и передает его вызов по назначению. Если мобильный пользователь во время разговора перемещается из одной зоны связи в другую, базовая станция покидаемой зоны автоматически переводит сигнал на свободную частоту новой зоны

если стоит батарея то "да"

Один знакомый ФСБшник моего знакомого говорит что элементарно вычислить мобильник даже в выключенном состоянии. Так что бойтесь!!! (для очень любопытных-без комментов)