Можно ли пармезан натереть и пересыпать в банку, или как-то по-другому сохранить?

Конечно) В Италии (думаю уже и у нас) существуют Пармезанницы - это стакан с крышечкой с дырками. Она действует по принципу мельницы для перца: сыр высыпается сквозь дырочки пармезанницы. Сыр должен быть слегка подсушенный. Хранить можно просто в шкафу, можно в холодильнике. Месяц точно)