Возникает ли в кольце с разрезом электрическое поле, если подносить к нему магнит?

Да, разумеется. Ровно настолько, чтобы точно компенсировать ЭДС индукции... .
И, очевидно, ПОКА магнит перемещается и пропорционально его скорости.. .

электрического тока не будет, так как цепь разорвана,
а заряд на концах разреза возникнет, то есть поле есть

На катушках магнитных пускателей ставятся разрезные кольца для снижения вибрации.